Kepler und Newton
Die hier präsentierten pdf's kreisen alle um den Zusammenhang zwischen den drei Keplergesetzen und dem Gravitationsgesetz von Newton. Tatsächlich hatte Newton eigentlich keine Wahl mehr. Offenbar hat ihm Robert Hooke in einem Brief das 1/r^2 - Gesetz vorgeschlagen - und Newton hat daraufhin sofort den Briefwechsel eingestellt. Erst auf Drängen des Mathematikers und Astronomen Edmund Halley hat Newton dann etwa 1684 seine Herleitung herausgerückt, die zeigt, dass Bahnen in diesem Kraftfeld Kegelschnitte sein müssen. Mehr dazu in "Newtons Gravitationsgesetz - aus Formeln wird eine Idee", ein Aufsatz von I. Bernhard Cohen im Sammelheft "Newtons Universum", Spektrum-Verlag, Heidelberg 1990.
Ich danke meinen Schülern Ivo J. und Jonas M. sowie den Kollegen G. Copetti und G. Keller dafür, dass ich ihre Arbeiten hier zum Download anbieten darf. Ein ganz besonderer Dank geht wieder an Alfred Hepp, der meine Manuskripte zu 'Kepler_01', 'Kepler_03', 'Kepler_07', 'Kepler_09', 'Kepler_10' und 'Kepler_11.pdf' mit LaTeX schön gesetzt hat.
"Ein Newton ergibt drei Kepler" Download: Kepler_01.pdf
Diese Blätter sind eine (etwas weitschweifige) Ausarbeitung des gleichlautenden Abschnitts 11 im schönen Themenheft "Astronomie" von Hans Roth, Orell Füssli Verlag Zürich, 1996. Skalar- und Vektorprodukt werden vorausgesetzt, die Ableitungsregeln für diese Produkte werden eingeführt. Aus dem Gravitationsgesetz von Newton wird abgeleitet, dass die Bahn eines Körpers in diesem Gravitationsfeld ein Kegelschnitt sein muss. Schliesslich wird die exakte Lösung des Zweikörperproblems hergeleitet (Bewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt).
Dies ist die einfachste mir bekannte Darstellung. Es wird kaum Analysis von Kurven in Polarkoordinaten benötigt, im Gegensatz zu den unten aufgeführten Aufsätzen.
"Drei Kepler ergeben einen Newton" Download: Kepler_02.pdf
Dieses Skript hat Ivo J. im FS2010 geschrieben. Es wird gezeigt, dass aus den drei Keplergesetzen Newton's Gravitationsgesetz zwingend folgt. Weil er das Skriptum von Charles B. Thomas (weiter unten) zu schwierig gefunden hat, hat Ivo ein Physikbuch seines Vaters konsultiert ("Vorlesungen über Mechanik" von Hans Ziegler, Birkhäuser 1970) und davon Teile des Kapitels 45 ausgearbeitet.
"Drei Kepler ergeben einen Newton - und einen Hamilton" Download: Kepler_03.pdf
Diese Herleitung des Gravitationsgesetzes von Newton aus den drei Keplergesetzen ist meine Variante zum Skriptum von Ivo (Kepler_02.pdf). Der dortige Abschnitt 3 verwendet unnötigerweise den Energieerhaltungssatz und ist auch technisch nicht ganz so durchsichtig wie der Rest.
Im Januar 2016 haben wir eine Version 2.0 ins Netzt gestellt. Diese enthält einen neu eingefügten Abschnitt 6 in welchem die Kreisform des Hodographen sehr elegant hergeleitet wird nach einer Idee von Erich Ch. Wittmann. Die gegenseitigen Abhängigkeiten der verschiedenen Aussagen werden zudem im Schlusskapitel übersichtlicher dargestellt.
"Kepler'sche Kegelschnitte und Hamilton'sche Kreise" Download: Kepler_04.pdf
Dieses schöne Skriptum von G. Copetti und G. Keller zeigt, dass in einem zentralen Kraftfeld die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind: "Die Bahn eines Körpers ist ein Kegelschnitt" sowie "Der Hodograph zur Bahn ist ein Kreis (oder ein Kreisbogen)".
Jonas M. hat im FS2010 eine "Lesehilfe" zu diesem Skriptum geschrieben, welche beweist, dass der Text durchaus von einem guten Schüler verstanden werden kann. Vorgängig haben wir im Klassenunterricht natürlich ein bisschen Analysis von Kurven in karthesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten gemacht.
Download der "Lesehilfe": Kepler_05.pdf
"Magic and Mathematics at the Court of Rudolph II" Download: Kepler_06.pdf
Der Aufsatz von Charles B. Thomas (Elemente der Mathematik Nr. 50 , Birkhäuser Verlag, Basel 1995) zeigt (neben einigem kulturgeschichtlichen Material), dass Newtons Gravitationsgesetz aus den drei Keplergesetzen hervorgeht - und umgekehrt. Er ist aber schwer zu lesen für die Schüler. Ich habe alle Schritte nachgerechnet und so ebenfalls eine Art Lesehilfe hergestellt. Dabei bin ich noch auf zwei kleine, leicht behebbare Fehler im Artikel gestossen, welche mir der Autor mit Übersendung eines Separatums bestätigt hat. Die Darstellung folgt laut Anmerkung 7 dem Lehrbuch von O. Toeplitz, "The Calculus - A Generic Approach", University of Chicago Press 1963, p. 150 - 172
Download der "Lesehilfe": Kepler_07.pdf
"Teaching the Kepler Laws for Freshmen" Download: Kepler_08.pdf
Diese Arbeit von Maris van Haandel und Gert Heckman wurde 2009 im "Mathematical Intelligencer" veröffentlicht, mit open access at Springerlink.com. Sie enthält verschiedene Ideen zum Zusammenhang von K1-K3 und Newtons Gravitationsgesetz. Gute Schüler, die sich mit dem Artikel befasst haben, finden ihn aber unzugänglich. Die verwendete Darstellung ist sicher gewöhnungsbedürftig. Vielleicht schreibe ich selber noch eine "Lesehilfe" dazu.
"Vom Fallkreis zur Kepler-Ellipse und zum Hodographen" Download: Kepler_09.pdf
Das ist eine neue Variante von "ein Newton ergibt drei Kepler und einen Hamilton".
Aus den Anfangsbedingungen "Ort" und "Geschwindigkeit" eines Planeten kann man ja sofort seine Kepler-Ellipse konstruieren. Diese Konstruktion habe ich ausgebaut zu einem Beweis dafür, dass die Bahn gerade durch diese Ellipse gegeben ist, wenn eine Zentralkraft wirkt, die mit dem Abstand im Quadrat abnimmt. Nebenbei ergibt sich mühelos, dass der Hodograph ein Kreis sein muss. Damit wird eigentlich der erste Teil der obigen Arbeit von Maris van Haandel und Gert Heckman in einer leichter lesbaren Art umgesetzt.
Zum Fallkreis gibt es auf dieser Webseite zwei Dateien: Eine für das Programm GeoGebra und eine für das Programm Graphing Calculator.
"Von Newton über Hamilton zu Kepler" Download: Kepler_10.pdf Englisch: Kepler_10_en.pdf
Dies ist eine neue Variante von "ein Newton ergibt drei Kepler". Es ist wohl die schönste, kürzeste und eleganteste bis anhin, und ich kann mir nicht vorstellen, dass es noch eleganter geht!
Die entscheidenden Ideen stammen aus einem schönen Artikel von Erich Ch. Wittmann: "Von den Hüllkurvenkonstruktionen der Kegelschnitte zu den Planetenbahnen", erschienen in den 'Mathematischen Semesterberichten' (2015) 62: 17-35 im Springer Verlag. Dieser Artikel folgt hinwiederum einer Anregung von Richard Feynmann, die im Buch "Feynmanns verschollene Vorlesung" vom Ehepaar Goodstein breitgetreten worden ist.
Zuerst wird verblüffend einfach gezeigt, dass der Hodograph einer Bewegung im Gravitationsfeld einer grossen Masse kreisförmig ist, und daraus wird wieder erstaunlich einfach abgeleitet, dass dann die Bahnform ein Kegelschnitt sein muss.
Mathematisch ist interessant zu sehen, welche enorme Kraft in der Kettenregel fürs Ableiten steckt.
"Von Kepler zu Hamilton und Newton" Download: Kepler_11.pdf Englisch: Kepler_11_en.pdf
Dies ist eine neue Variante von "drei Kepler ergeben einen Newton". Es ist wohl die schönste, kürzeste und eleganteste bis anhin, und ich kann mir nicht vorstellen, dass es noch eleganter geht!
Alle Ableitungen nach der Zeit werden mit der Kettenregel durch Ableitungen nach dem Winkel in der Polardarstellung der Bahn ersetzt. Mit minimalem Aufwand ergibt sich die Kreisform des Hodographen und die 1/r2 - Abhängigkeit der Beschleunigung.
Die Anregung zu diesem Vorgehen kommt von der schönen Arbeit von Erich Ch. Wittmann: "Von den Hüllkurvenkonstruktionen der Kegelschnitte zu den Planetenbahnen", erschienen in den 'Mathematischen Semesterberichten' (2015) 62: 17-35 im Springer Verlag.
"Mit dem Cosinussatz zur Kreisform des Hodographen" Download: Kepler_12.pdf
Englisch: Kepler_12_en.pdf
Im American Journal of Physics 89, p.1009 vom November 2021 hat Akarsh Simha gezeigt, dass man aus den Erhaltungssätzen der Physik allein mithilfe des Cosinussatzes, ganz ohne Analysis das erste Keplersche Gesetz herleiten kann. Das hat mich auf die Idee gebracht, dasselbe mit Hamiltons Satz vom Hodographen dieser Bahn zu versuchen.
Tatsächlich ist es möglich, die Kreisform des Hodographen zu beweisen im Wesentlichen mithilfe des Cosinussatzes. Versteckt im Potential des Newtonschen Kraftgesetzes ist die Analysis aber doch ein bisschen dabei.
"Mit Bohlin von Hooke zu Kepler" Download: Kepler_13.pdf Englisch: Kepler_13_en.pdf
Im Anhang 1 zu seinem Büchlein "Huygens & Barrow, Newton & Hooke" (Birkhäuser 1990) macht Vladimir Igorevich Arnol'd auf einen Satz von Bohlin aufmerksam, der zeigt, dass das Kraftgesetz von Hooke
( F ~ r ) in einem gewissen Sinn 'dual' ist zum Kraftgesetz von Newton ( F ~ r^-2 ). Die Quadratfunktion bildet in den komplexen Zahlen Hooke'sche Ellipsen mit Mittelpunkt im Nullpunkt auf Kepler-Ellipsen mit einem Brennpunkt im Nullpunkt ab. Arnol'd verallgemeinert diesen Satz noch. Es ergibt sich daraus ein komplett neuer Beweis für die Ellipsengestalt der Planetenbahnen.
Der ganze Aufsatz ist nur eine Ausarbeitung dieses Anhangs im Büchlein von Arnol'd.